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De forma más práctica, el valor esperado de una variable aleatoria discreta es el promedio ponderado por la probabilidad de todos los valores posibles. En otras palabras, cada valor posible que puede asumir la variable aleatoria se multiplica por su probabilidad de que ocurra, y los productos resultantes se suman para producir el valor esperado. El mismo principio se aplica a una variable aleatoria absolutamente continua , excepto que una integral de la variable con respecto a su densidad de probabilidadreemplaza la suma. La definición formal incluye ambos y también funciona para distribuciones que no son ni discretas ni absolutamente continuas; el valor esperado de una variable aleatoria es la integral de la variable aleatoria con respecto a su medida de probabilidad .

El valor esperado no existe para las variables aleatorias que tienen algunas distribuciones con grandes "colas" , como la distribución de Cauchy . Para variables aleatorias como estas, las colas largas de la distribución evitan que la suma o integral converja.

El valor esperado es un aspecto clave de cómo se caracteriza una distribución de probabilidad ; es un tipo de parámetro de ubicación . Por el contrario, la varianza es una medida de la dispersión de los posibles valores de la variable aleatoria alrededor del valor esperado. La varianza en sí misma se define en términos de dos expectativas: es el valor esperado de la desviación al cuadrado del valor de la variable del valor esperado de la variable.

El valor esperado juega un papel importante en una variedad de contextos. En el análisis de regresión , se desea una fórmula en términos de datos observados que dé una "buena" estimación del parámetro que da el efecto de alguna variable explicativa sobre una variable dependiente . La fórmula proporcionará diferentes estimaciones utilizando diferentes muestras de datos, por lo que la estimación que proporciona es en sí misma una variable aleatoria. Una fórmula generalmente se considera buena en este contexto si es un estimador insesgado , es decir, si se puede demostrar que el valor esperado de la estimación (el valor promedio que daría sobre un número arbitrariamente grande de muestras separadas) es igual al valor real de el parámetro deseado.

En la teoría de la decisión , y en particular en la elección en condiciones de incertidumbre , se describe a un agente como una elección óptima en el contexto de información incompleta. Para los agentes neutrales al riesgo , la elección implica utilizar los valores esperados de cantidades inciertas, mientras que para losagentes adversos al riesgo implica maximizar el valor esperado de alguna función objetiva como una función de utilidad de von Neumann-Morgenstern . Un ejemplo de cómo utilizar el valor esperado para tomar decisiones óptimas es el modelo Gordon-Loeb de inversión en seguridad de la información. Según el modelo, se puede concluir que la cantidad que una empresa gasta para proteger la información generalmente debe ser solo una pequeña fracción de la pérdida esperada (es decir, el valor esperado de la pérdida resultante de una violación de seguridadcibernética o de la información ).

Definición

Caso finito

Vamos a ser una variable aleatoria con un número finito de resultados finitos , , ..., que ocurren con probabilidades , , ..., , respectivamente. La expectativa de se define como $X$ $x_ {1}$ $x_ {2}$ $x_ {k}$ $p_ {1}$ $p_ {2}$ $p_ {k}$ $X$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} [X] = \ sum _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} \, p_ {i} = x_ {1} p_ {1} + x_ {2} p_ { 2} + \ cdots + x_ {k} p_ {k}.}

Dado que todas las probabilidades suman 1 ( ), el valor esperado es el promedio ponderado , siendo 's los pesos. $Pi}$ ${\ Displaystyle p_ {1} + p_ {2} + \ cdots + p_ {k} = 1}$ $Pi}$

Si todos los resultados son equiprobables (es decir, ), entonces el promedio ponderado se convierte en el promedio simple . Esto es intuitivo: el valor esperado de una variable aleatoria es el promedio de todos los valores que puede tomar; por tanto, el valor esperado es lo que uno espera que suceda en promedio . Si los resultados no son equiprobables, entonces el promedio simple debe reemplazarse por el promedio ponderado, que toma en cuenta el hecho de que algunos resultados son más probables que otros. Sin embargo, la intuición sigue siendo la misma: el valor esperado de es lo que uno espera que suceda en promedio . $x_ {i}$ ${\ Displaystyle p_ {1} = p_ {2} = \ cdots = p_ {k}}$ $x_ {i}$ $X$

Una ilustración de la convergencia de los promedios de secuencia de lanzamientos de un dado al valor esperado de 3.5 a medida que aumenta el número de lanzamientos (ensayos).

Sea el resultado de una tirada de un dado deseis caras . Más específicamente, será el número de pepitas que se muestran en la cara superior del dado después del lanzamiento. Los valores posibles para son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, todos igualmente probables (cada uno con la probabilidad de $X$ $X$ $X$ 1/6). La expectativa de es $X$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} [X] = 1 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 2 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 3 \ cdot {\ frac {1} { 6}} + 4 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 5 \ cdot {\ frac {1} {6}} + 6 \ cdot {\ frac {1} {6}} = 3.5.}

Si uno lanza los tiempos del dado y calcula el promedio (media aritmética ) de los resultados, entonces, a medida que crece, el promedio casi seguramente convergeráal valor esperado, un hecho conocido como la ley fuerte de los números grandes . Una secuencia de ejemplo de diez tiradas del dado es 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 2, 2, 6, que tiene un promedio de 3,1, con una distancia de 0,4 del valor esperado de 3,5. La convergencia es relativamente lenta: la probabilidad de que el promedio caiga dentro del rango de

3,5 \pm 0,1

es 21,6% para diez rollos, 46,1% para cien rollos y 93.7% para mil rollos. Consulte la figura para ver una ilustración de los promedios de secuencias más largas de tiradas del dado y cómo convergen al valor esperado de 3,5. De manera más general, la tasa de convergencia se puede cuantificar aproximadamente mediante, por ejemplo, la desigualdad de Chebyshev y el teorema de Berry-Esseen .

norte

norte

El juego de la ruleta consiste en una pequeña bola y una rueda con 38 bolsillos numerados alrededor del borde. A medida que gira la rueda, la bola rebota aleatoriamente hasta que se asienta en uno de los bolsillos. Suponga que la variable aleatoria representa el resultado (monetario) de una apuesta de $ 1 en un solo número (apuesta "directa"). Si la apuesta gana (lo que ocurre con probabilidad $X$ 1/38en la ruleta americana), la recompensa es de $ 35; de lo contrario, el jugador pierde la apuesta. El beneficio esperado de tal apuesta será

{\ Displaystyle \ operatorname {E} [\, {\ text {ganancia de}} \ $ 1 {\ text {bet}} \,] = - \ $ 1 \ cdot {\ frac {37} {38}} + \ $ 35 \ cdot {\ frac {1} {38}} = - \ $ 0.0526.}

Es decir, la apuesta de $ 1 puede perder $ 0.0526, por lo que su valor esperado es - $ 0.0526.

Caso contablemente infinito

Vamos a ser una variable aleatoria con un conjunto numerable de los resultados finitos , , ..., que se producen con las probabilidades , , ..., respectivamente, de tal manera que las infinitas suma converge. El valor esperado de se define como la serie $X$ $x_ {1}$ $x_ {2}$ $p_ {1}$ $p_ {2}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | \, p_ {i}}$ $X$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} [X] = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} \, p_ {i}.}

Observación 1. Observe que ${\ Displaystyle \ textstyle {\ Bigl |} \ operatorname {E} [X] {\ Bigr |} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | \, p_ {i} <\ infty.}$

Observación 2. Debido a la convergencia absoluta , el valor esperado no depende del orden en que se presenten los resultados. Por el contrario, se puede hacer que una serie condicionalmente convergente converja o diverja arbitrariamente, mediante el teorema de la reordenación de Riemann .

Ejemplo

Suponga y para , donde ( siendo el logaritmo natural ) es el factor de escala tal que las probabilidades suman 1. Entonces ${\ Displaystyle x_ {i} = i}$ ${\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {k} {i2 ^ {i}}},}$ ${\ Displaystyle i = 1,2,3, \ ldots}$ ${\ Displaystyle k = {\ frac {1} {\ ln 2}}}$ $\ ln$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} [X] = 1 \ left ({\ frac {k} {2}} \ right) +2 \ left ({\ frac {k} {8}} \ right) +3 \ izquierda ({\ frac {k} {24}} \ right) + \ dots = {\ frac {k} {2}} + {\ frac {k} {4}} + {\ frac {k} {8} } + \ puntos = k.}

Dado que esta serie converge absolutamente, el valor esperado de es .

X

k

Para un ejemplo que no es absolutamente convergente, suponga que una variable aleatoria toma valores 1, -2, 3, -4, ..., con probabilidades respectivas , ..., donde es una constante de normalización que asegura que las probabilidades sumen uno. Entonces la suma infinita $X$ ${\ Displaystyle {\ frac {c} {1 ^ {2}}}, {\ frac {c} {2 ^ {2}}}, {\ frac {c} {3 ^ {2}}}, {\ frac {c} {4 ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle c = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}}}$

\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} \, p_ {i} = c \, {\ bigg (} 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1 } {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ dotsb {\ bigg)}

converge y su suma es igual a . Sin embargo, sería incorrecto afirmar que el valor esperado de es igual a este número; de hecho , no existe (finito o infinito), ya que esta serie no converge absolutamente (ver Series armónicas alternas ).

{\ Displaystyle {\ frac {6 \ ln 2} {\ pi ^ {2}}} \ approx 0.421383}

X

\ operatorname {E} [X]

Un ejemplo divergente surge en el contexto de la paradoja de San Petersburgo . Deja y para . El cálculo del valor esperado da ${\ Displaystyle x_ {i} = 2 ^ {i}}$ ${\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {2 ^ {i}}}}$ ${\ Displaystyle i = 1,2,3, \ ldots}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} x_ {i} \, p_ {i} = 2 \ cdot {\ frac {1} {2}} + 4 \ cdot {\ frac {1} {4}} + 8 \ cdot {\ frac {1} {8}} + 16 \ cdot {\ frac {1} {16}} + \ cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + \ cdots \ ,.}

Dado que esto no converge, sino que sigue creciendo, el valor esperado es infinito.

Caso absolutamente continuo

Si es una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa admite una densidad , entonces el valor esperado se define como la siguiente integral de Lebesgue: $X$ $f (x)$

{\ Displaystyle \ operatorname {E} [X] = \ int _ {\ mathbb {R}} xf (x) \, dx.}

Observación. Desde la perspectiva computacional, la integral en la definición de a menudo puede tratarse como una integral de Riemann impropia. Específicamente, si la función es integrable de Riemann en cada intervalo finito , y $\ operatorname {E} [X]$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} xf (x) \, dx.}$ ${\ Displaystyle xf (x)}$ $[a, b]$

{\ Displaystyle \ min \ left ((- 1) \ cdot {\ hbox {(R)}} \ int _ {- \ infty} ^ {0} xf (x) \, dx, \ {\ hbox {(R )}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} xf (x) \, dx \ right) <\ infty,}

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viernes, 18 de septiembre de 2020

Valor Esperado

Definición

Caso finito

Caso contablemente infinito

Ejemplo

Caso absolutamente continuo

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